【题目】在数列,中,已知,,且,,成等差数列,,,也成等差数列.
求证:是等比数列;
设m是不超过100的正整数,求使成立的所有数对.
【答案】(1)详见解析;(2),;
【解析】
试题(1)由已知条件构造数列的递推关系,从而根据定义证得等比数列;(2)由已知构造数列的递推关系,从而求得通项公式,结合数列的通项公式求得数列的通项公式,代入已知关系式化简为形如的不定方程,由的范围得的范围,从而得到可能的取值;
试题解析:(1)由,,成等差数列可得,,①
由,,成等差数列可得,, ②
①+②得,,
所以是以6为首项、为公比的等比数列.
(2)由(1)知,,③ ①-②得,,④
③④得,,
代入,得,
所以,
整理得,,所以,
由是不超过100的正整数,可得,所以或,
当时,,此时,则,符合题意;
当时,,此时,则,符合题意.
故使成立的所有数对为,.
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【题目】为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2018年在其扶贫基地投入万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%.
(1)写出第年(2019年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年),每年投入的资金数将超过万元?
(参考数据)
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【题目】折纸是一项艺术,可以折出很多数学图形.将一张圆形纸片放在平面直角坐标系中,圆心B(-1,0),半径为4,圆内一点A为抛物线的焦点.若每次将纸片折起一角,使折起部分的圆弧的一点始终与点A重合,将纸展平,得到一条折痕,设折痕与线段B的交点为P.
(Ⅰ)将纸片展平后,求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知过点A的直线l与轨迹C交于R,S两点,当l无论如何变动,在AB所在直线上存在一点T,使得所在直线一定经过原点,求点T的坐标.
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【题目】某港口有一个泊位,现统计了某100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位:小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时,以此类推,统计结果如下表:
(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时,求的值;
(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.
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【题目】如图,在海岸线l一侧P处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便登岛游客,在l上设立了M,N两个报名接待点,P,M,N三点满足任意两点间的距离为公司拟按以下思路运作:先将M,N两处游客分别乘车集中到MN之间的中转点Q处点Q异于M,N两点,然后乘同一艘游轮由Q处前往P岛据统计,每批游客报名接待点M处需发车2辆,N处需发车4辆,每辆汽车的运费为20元,游轮的运费为120元设,每批游客从各自报名点到P岛所需的运输总成本为T元.
写出T关于的函数表达式,并指出的取值范围;
问:中转点Q距离M处多远时,T最小?
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【题目】某工厂生产,,三种纪念品,每种纪念品均有普通型和精品型两种,某一天产量如下表(单位:个):
普通型 | 精品型 | |
纪念品 | 800 | 200 |
纪念品 | 150 | |
纪念品 | 500 | 350 |
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取100个,其中有种纪念品40个.
(1)若再用分层抽样的方法在所有种纪念品中抽取一个容量为13的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2个纪念品,求至少有1个精品型纪念品的概率(用最简分数表示);
(2)从种精品型纪念品中抽取6个,其某种指标的数据分别如下:4,7,,,8,5.把这6个数据看作一个总体,其均值为7、方差为6,求的值.
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