Question

已知函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

解：（1）由题意知，
即，解得p=2
则所求解析式为
（2）由（1）得，，则此函数的定义域是{x|x≠0}，
∵f（-x）==-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（3）由（1）可得=，则函数f（x）在区间（0，1）上是增函数，
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜1，
∴
=
∵0＜x₁＜x₂＜1，0＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在区间（0，1）上是增函数．
分析：（1）把x=2代入函数的解析式，列出关于p的方程，求解即可；
（2）由（1）求出的解析式，根据分母不为零求出函数的定义域，然后验证f（x）与f（-x）的关系，判断出函数的奇偶性；
（3）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值-作差-变形-判断符号-下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．
点评：本题考查了有关函数的性质综合题，用待定系数法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．