Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，4

2

是a₁和a₄的一个等比中项，a₂和a₃的等差中项为6，若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由4

2

是a₁和a₄的一个等比中项，a₂和a₃的等差中项为6，求出数列的首项和公比，可求得数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式代入a_nb_n，利用错位相减法求得其前n项和S_n．

解答：解：（1）因为4

2

是a₁和a₄的一个等比中项，
所以a1•a4=(4

2

)2=32．
由题意可得

a2•a3=32 a2+a3=12.

在为q＞1，所以a₃＞a₂．
解得

a2=4 a3=8

所以q=

a3

a2

=2．
故数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．

（2）由于b_n=log₂a_n（n∈N^*），
所以b_n=n，a_nb_n=n•2ⁿ．S_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1•2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
所以S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．

点评：考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念即错位相减法求数列的前项和S_n，等差数列和等比数列之间的相互转化，属中档题．