Question

17．已知关于x的实系数一元二次方程ax²+bx+c=0，求：
（1）有两个正根的充要条件；
（2）有一个正根、一个根为零的充要条件；
（3）有一个大于2的根和一个小于2的根的充要条件．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质求得各种情况成立的充要条件．

解答 解：（1）有两个正根，等价于$\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4ac≥0}\\{-\frac{b}{a}＞0}\\{\frac{c}{a}＞0}\end{array}\right.$．
（2）有一个正根、一个根为零的充要条件是：$\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4ac＞0}\\{\frac{c}{a}=0}\\{-\frac{b}{a}＞0}\end{array}\right.$．
函数f（x）=ax²+bx+c，满足
（3）有一个大于2的根和一个下于2的根的充要条件是：
函数f（x）=ax²+bx+c，满足$\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4ac＞0}\\{-\frac{b}{2a}＞2}\\{f（2）=4a+2b+c≥0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．