Question

已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），斜率为1的直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（Ⅰ）若椭圆的离心率e=

3

2

，直线l过点M（b，0），且

OA

•

OB

=

32

5

cot∠AOB，求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆的右焦点F，设向量

OP

=λ(

OA

+

OB

)（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用离心率求得a和b的关系，将直线l的方程代入到椭圆方程则可表示出A，B的坐标，利用∠AOB=

π

2

+∠AOx推断出cot∠AOB=-tan∠AOx=-

3

8

，利用题设等式求得b，进而求得a，则椭圆的方程可得．
（2）将y=x-c代入到椭圆方程，进而表示出

OA

+

OB

，进而根据

OP

=λ(

OA

+

OB

)表示出

OP

代入椭圆的方程求得λ的表达式，设椭圆的离心率为e，进而根据0＜e＜1求得λ的范围．

解答：解：（1）∵e=

3

2

，
∴a=2b，c=

3

b，将直线l的方程y=x-b代入到椭圆方程x²+4y²=4b²中，
得B(0，-b)，A(

8b

5

，

3b

5

)．又∠AOB=

π

2

+∠AOx，
∴cot∠AOB=-tan∠AOx=-

3

8

，从而由

OA

•

OB

=

32

5

cot∠AOB，
得-

3b2

5

=-

3

8

×

32

5

∴b²=4，a²=16即椭圆的方程为：

x2

16

+

y2

4

=1
（2）将y=x-c代入到椭圆方程，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0

OA

+

OB

=(

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

)，
故∴

OP

=(

2λa2c

a2+b2

，

-2λb2c

a2+b2

)，
又点P在椭圆上，从而b2(

2a2c

a2+b2

)2+a2(

-2b2c

a2+b2

)2-a2b2=0，
化简得λ2=

a2+b2

4c2

，设椭圆的离心率为e，
则0＜e＜1，且λ2=

1

2e2

-

1

4

∈(

1

4

，+∞)，故λ的取值范围为(

1

2

，+∞)

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生的基本的分析问题的能力和综合运用所学知识的能力．