Question

（2009•黄浦区一模）已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+

2

x+b

(x≠-b)的图象经过点（1，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）将点的坐标代入函数解析式，得出a，b的关系式，再结合a、b是正整数，即可求出a，b 的值，最后写出函数f（x）的解析式；
（2）先判断出f（x）在（-1，0]上的单调性，取值作差，通分化简判定出符号，再根据函数单调性的定义进行判定即可．

解答：解：（1）由函数f(x)=ax+

2

x+b

(x≠-b)的图象过点(1，3)，知3=a+

2

1+b

，(3-a)(b+1)=2．…（2分）
又a、b均为正整数，
故3-a＞0，b+1≥2．于是，必有

3-a=1 b+1=2

，即

a=2 b=1

．…（7分）
所以f(x)=2x+

2

x+1

（x≠-1）．…（8分）
（2）结论：f(x)=2x+

2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是减函数．…（9分）
证明  设x₁、x₂是（-1，0]内的任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂．…（10分）
则f(x1)-f(x2)=2x1+

2

x1+1

-(2x2+

2

x2+1

)…（11分）
=2(x1-x2)+

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

=2(x1-x2)•

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

．…（13分）
又-1＜x₁≤0，-1＜x₂≤0，x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，1+x₂＞0，x₂+x₁（1+x₂）＜0．（14分）
于是，2(x1-x2)•

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）．…（16分）
所以，函数f(x)=2x+

2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是减函数．

点评：本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的判断与证明，以及分式函数符号的判定，属于基础题．