Question

5．已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|．
（1）若?x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤m成立，求实数m的最小值M；
（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=m，求$\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由绝对值不等式的性质，求得f（x）的最小值，令m不小于最小值，即可得到所求M；
（2）由题意可得3a+b=2，运用乘1法和基本不等式，即可得证．

解答 解：（1）由题意，不等式|x+1|+|x-1|≤m有解，即m≥（|x+1|+|x-1|）_min=M．
∵|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，当且仅当（x+1）（x-1）≤0⇒-1≤x≤1时取等号，
∴M=2．
（2）由（1）得3a+b=2，
∴$\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2}（3a+b）（\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}）=\frac{1}{2}[2a+（a+b）]（\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}）$=$\frac{1}{2}（1+\frac{2a}{a+b}+\frac{a+b}{2a}+1）≥\frac{1}{2}（2+2\sqrt{1}）=2$，
当且仅当$\frac{2a}{a+b}=\frac{a+b}{2a}⇒a=b=\frac{1}{2}$时取等号，
故${（\frac{1}{2a}+\frac{1}{a+b}）_{min}}=2$．

点评 本题考查绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查存在性问题的解法，以及基本不等式的运用，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．