Question

【题目】如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．

（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如图所示，取DC的中点F，连接BF，则DF= DC=1=BE，

∵∠CDE=∠BED=90°，∴BE∥DF，

∴四边形BEDF是矩形，

∴BF⊥DC，BF=ED=1，

在Rt△BCF中，BC= = ．

在△ACB中，∵AB=2，BC=AC= ，

∴BC2+AC2=AB2，

∴AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE．

（Ⅱ）过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，连接AM．

又平面ABC⊥平面BCDE，∴EM⊥平面ACB．

∴∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角．

在Rt△BEM中，EB=1，∠EBM=45°．

∴EM= =MB．

在Rt△ACM中， = = ．

在Rt△AEM中， = = ．

【解析】91）根据勾股定理的逆定理可知AC⊥BC，由已知平面ABC⊥平面BCDE并且两平面相交于BC，根据直线和平面垂直的判定定理可知AC⊥平面BCDE。（2）根据题意作出辅助线，可证明EM⊥平面ACB进而可得∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角，根据几何关系可求出tan的值。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．