Question

1．求下列函数的值域
（1）$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，$x∈[{\frac{7π}{24}，\frac{π}{2}}]$；
（2）$y=\frac{cosx-1}{cosx-2}$．

Answer 1

分析 （1）根据x的范围，求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，再根据正弦函数的单调性求出值域；
（2）由$y=\frac{cosx-1}{cosx-2}$=1+$\frac{1}{cosx-2}$，得到函数为减函数，且-1≤cosx≤1，继而求出函数的值域．

解答 解：（1）∵x∈[$\frac{7π}{24}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\sqrt{2}$，2]，
（2）$y=\frac{cosx-1}{cosx-2}$=1+$\frac{1}{cosx-2}$，
∵-1≤cosx≤1，
又∵$y=\frac{cosx-1}{cosx-2}$=1+$\frac{1}{cosx-2}$为减函数，
当cosx=-1时，y=$\frac{2}{3}$，
当cosx=1时，y=-1，
故$y=\frac{cosx-1}{cosx-2}$的值域为[0，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查了函数值域的求法，以及函数的图象和性质，属于基础题．