Question

15．如图，点P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁（线段BC₁）上运动，给出下列五个命题：
①直线AD与直线B₁P为异面直线；
②A₁P∥平面ACD₁；
③三棱锥A-D₁PC的体积为定值；
④面PDB₁⊥面ACD₁；
⑤直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变．
其中真命题的编号为①②③④．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 对于①，根据异面直线的判定定理，可得结论；
对于②，连接A₁B，A₁C₁容易证明平面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；
对于③，容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，以P为顶点，平面AD₁C为底面，易得；
对于④，容易证明PDB₁⊥面ACD₁，从而可以证明面面垂直；
对于⑤，可以从向量的角度进行判断；

解答 解：对于①：AD∥平面B₁C₁CB，B₁P?平面B₁C₁CB，B₁P与AD不平行，故直线AD与直线B₁P为异面直线；①正确；
对于②：连接A₁B，A₁C₁，可得平面BA₁C₁∥面ACD₁，∵A₁P?平面BA₁C₁，故A₁P∥平面ACD₁；②正确；
对于③：容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变；③正确；

对于④：连接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知，故④正确；
对于⑤：∵随着P点的移动，$\overrightarrow{AP}$与平面ACD₁的法向量的夹角也是变化的，∴⑤错误
故答案为：①②③④

点评 本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．