Question

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b-2，a-2）．
（1）若∥，试判断△ABC的形状并证明；
（2）若⊥，边长c=2，∠C=，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）ABC为等腰三角形；
证明：∵=（a，b），=（sinB，sinA），∥，
∴asinA=bsinB，
即a•=b•，其中R是△ABC外接圆半径，
∴a=b--------（5分）
∴△ABC为等腰三角形--------（6分）
（2）∵=（b-2，a-2），由题意可知⊥，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab--------（8分）
由余弦定理可知，4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
即（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4或ab=-1（舍去）---------（10分）
∴S=absinC=×4×sin=．----------（12分）
分析：（1）由∥可得asinA=bsinB，再利用正弦定理即可证明结论；
（2）由⊥可得a+b=ab，再利用余弦定理可得到（ab）²-3ab-4=0，解此方程即可求得ab的值，从而可求得△ABC的面积．
点评：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查解方程的能力，属于中档题．