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    （2011•资中县模拟）已知二次函数f（x）=x2-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n），bn=1-
    8-man
    ，我们把所有满足bi•bi+1＜0的正整数i的个数叫做数列{bn}的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：
    ①m=0；
    ②m=4；
    ③数列{an}的通项公式为an=2n-5；
    ④数列{bn}的异号数为2；
    ⑤数列{bn}的异号数为3．
    其中正确命题的序号为
    ②⑤
    ②⑤
    ．（写出所有正确命题的序号）
    分析：不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得出△=（-m）2-4m=0 解得m=0或m=4．结合在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，排除m=0．利用数列中an与 Sn关系求出an，判断出③的正误．继而根据an，求出bn，通过解不等式bi•bi+1＜0得出i的取值．
    解答：解：若不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，根据二次函数的性质，应有△=（-m）2-4m=0 解得m=0或m=4．
    当m=0时，f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，不满足（2），①错误
    当m=4时，f（x）=x2-4x+4=（x-2）2，取0＜x1=1＜x2=2 使得不等式f（x1）＞f（x2），故m=4，②正确．
    由上Sn=f（n）=（n-2）2，当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5．
    ∴an=
    1    n=1
    2n-5     n≥2
            ③错误
    当n=1时，b1=1-4=-3＜0，而b2=1-
    4
    a2
    =5＞0，b1b2＜0，所以i可以为1．
    n≥2时，bn•bn+1=（1-
    4
    2n-5
    ）（1-
    4
    2n-3
    ）=
    (2n-9)(2n-7)
    (2n-5)(2n-3)
    ＜0
    解得n=2，4．即i=2、4
    即数列{bn}的异号数为3．   ④错误，⑤正确
    故答案为：②⑤
    点评：本题考查二次函数图象和性质，数列通项公式求解，解不等式．考查阅读理解、计算等能力．
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    6
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    （1）证明数列{an-n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
    （2）数列{bn}满足：bn=
    n
    2an-2n
    （n∈N+），求数列{bn}的前n项和Sn；
    （3）比较Sn与
    3n
    2n+1
    的大小．

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