Question

已知f（x）=3mx²-2（m+n）x+n（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，则|x₁-x₂|的取值范围为（　　）

• A、[

  3

  3

  ，

  2

  3

  )
• B、[

  1

  3

  ，

  4

  9

  )
• C、[

  1

  3

  ，

  3

  3

  )
• D、[

  1

  9

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：由f（0）•f（1）＞0可求出m和n的不等关系，x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，由维达定理可表示出x₁+x₂和x₁•x₂，而|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，可表示为m和n的关系式，求范围即可．

解答：解：由f（0）•f（1）＞0可得n（m-n）＞0，不等式两边同除以m²，则

n

m

-(

n

m

)2＞0，即0＜

n

m

＜1．
维达定理x₁+x2=

2(m+n)

3m

和x₁•x₂=

n

3m

，
所以|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

4(m2+n2+mn)

9m2

=

4

9

((

n

m

)2+

n

m

+1)
因为0＜

n

m

＜1，所以

1

3

≤|x₁-x₂|²＜

4

9

，所以

3

3

＜|x₁-x₂|＜

2

3

故选A

点评：本题考查二次方程的根和系数的关系、二次函数的范围问题，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．