Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．若

1

2

≤

an+1

an

 ≤2（n∈N^*），则称{a_n}是“紧密数列”
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n=

1

4

（n²+3n）（n∈N^*），证明：{a_n}是“紧密数列”；
（2）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，若数列{a_n}与{S_n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的性质

专题：新定义,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列的a_n与S_n的关系式求出a_n，代入

an+1

an

化简后由n的取值求出

an+1

an

的范围，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；
（2）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简

an+1

an

和

Sn+1

Sn

，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．

解答： 证明：（1）由S_n=

1

4

（n²+3n）（n∈N^*）得，S_n-1=

1

4

[（n-1）²+3（n-1）]（n≥2），
两式相减得，a_n=

1

4

（n²+3n-n²+2n-1-3n+3）=

1

4

（2n+2）=

1

2

（n+1），
当n=1时，a₁=S₁=

1

4

（1+3）=1，也适合上式，
所以a_n=

1

2

（n+1），
则

an+1

an

=

n+2

n+1

=1+

1

n+1

＞1，所以

an+1

an

≥

1

2

显然成立，
因为

an+1

an

=1+

1

n+1

随着n的增大而减小，所以当n=1时

an+1

an

取到最大值，
则

an+1

an

≤1+

1

2

=

3

2

＜2，则

an+1

an

≤2成立，
所以数列{a_n}是“紧密数列”；
解：（2）由题意得，等比数列{a_n}的公比q
当q≠1时，所以an=a1qn-1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
则

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q，

Sn+1

Sn

=

a1(1-qn+1) 1-q

a1(1-qn) 1-q

=

1-qn+1

1-qn

，
因为数列{a_n}与{S_n}都是“紧密数列”，
所以

1 2 ≤q≤2 1 2 ≤ 1-qn+1 1-qn ≤2

，解得

1

2

≤q＜1，
当q=1时，a_n=a₁，S_n=na₁，
则

an+1

an

=1，

Sn+1

Sn

=

n+1

n

=1+

1

n

，则1＜

Sn+1

Sn

≤

3

2

，
满足“紧密数列”的条件，
故q的取值范围是[

1

2

，1]

点评：本题是新定义题，考查数列的a_n与S_n的关系式，等比数列的通项公式、前n项和公式，解题的关键是正确理解新定义并会应用．