为加强大学生实践.创新能力和团队精神的培养.促进高等教育教学改革.教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段.参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛.选拔出甲.乙等五支队伍参加决赛．(1)甲不在首位.乙不在末尾的排法种数,(2)求决赛中甲.乙两支队伍恰好排在前两位的概率,(3)若决赛中甲队� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．
（1）甲不在首位，乙不在末尾的排法种数；
（2）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（3）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望．

分析（1）五个排序，排法总数为${A}_{5}^{5}$，甲在首位，乙在末尾的排法种数为${A}_{3}^{3}$，由此能求出甲不在首位，乙不在末尾的排法种数．
（2）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率．
（3）由已知得随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．

解答解：（1）五个人排序，排法总数为${A}_{5}^{5}$，甲在首位，乙在末尾的排法种数为${A}_{3}^{3}$，
∴甲不在首位，乙不在末尾的排法种数为：
${A}_{5}^{5}-{A}_{3}^{3}$=114．
（2）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，
则P（A）=$\frac{2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{10}$．
∴甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为$\frac{1}{10}$．
（3）由已知得随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{2×{A}_{4}^{4}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=1）=$\frac{3×2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{2×{A}_{2}^{2}×3×{A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=3）=$\frac{2×{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{10}$，．
∴随机变量X 的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴EX=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{10}$=1．

点评本题考查等可能事件概率的计算，考查排列数公式的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题的关键是根据题意，正确列举基本事件空间，得到其包含基本事件的数目．

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