Question

我们定义双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”，如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点，直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B，F₁、F₂分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点．
（1）求证：PF₁⊥PF₂；
（2）求证：PF₁平分∠APO；
（3）你能否在未证明（1）下，直接证明（2）？请写下你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，分析“虚近点”的定义，联立由

y= b a x y=b

得P的坐标，由向量数量积的公式，计算

PF1

•

PF2

，可得其结果为0，即可证PF₁⊥PF₂；
（2）由（1）知△F₁PF₂为直角三角形，且O为斜边F₁F₂的中点，由直角三角形的性质，可得∠OF₁P=∠OPF₁，进而可得∠OF₁P=∠APF₁，即可证PF₁平分∠APO；
（3）由（1）可得P的坐标，可得|OP|=C，又由|OF₁|=c，可得∠OF₁P=∠OPF₁，进而根据AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，即可得∠OPF₁=∠APF₁，即可证PF₁平分∠APO．

解答：证明：（1）双曲线C在第一、三象限的渐近线方程为y=

b

a

x，
由

y= b a x y=b

得P（a，b），
∴

PF1

•

PF2

=（-c-a，-b）•（c-a，-b）=a²-c²+b²=0，
得PF₁⊥PF₂；
（2）由（1）知△F₁PF₂为直角三角形，且O为斜边F₁F₂的中点，
∴OP=OF₁，有∠OF₁P=∠OPF₁，
又∵AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，
∴∠OPF₁=∠APF₁，
∴PF₁平分∠APO，同理得证PF₂平分∠BPO；
（3）能直接证明，证明如下：
同（1）的方法，可求得P（a，b），
∴|OP|=

a2+b2

=c，
又∵|OF₁|=c，∴∠OF₁P=∠OPF₁，
又∵AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，∴∠OPF₁=∠APF₁，
∴PF₁平分∠APO．

点评：本题考查双曲线的性质与应用，解题时，注意分析题意，把握好“虚近点”的定义，结合双曲线的定义与性质，从而解题．