Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令bn=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

，T_n=b121+b222+b323+…+bn2n，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令cn=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知△=a²-4a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用S_n与a_n的关系即可求得a_n．
（2）由（1）求得b_n，根据其结构特征利用错位相减法即可求得T_n；
（3）先求出C_n，判断n≥3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n≥3时的变号数，根据c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，可得此处变号数，从而可求得数列{c_n}的变号数．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0⇒a=0或a=4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，
∴Sn=n2-4n+4，
∴an=Sn-Sn-1=

1，  n=1 2n-5，n≥2

；
（2）∵bn=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

=

1，n=1 2n-5+5 2 ，n≥2

，
∴b_n=n，
Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，②
①-②得，-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-1)2n+1+2；
（3）由题设cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

∵n≥3时，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵a4=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0⇒n≥5，
可知a₄•a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，
即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，
∴此处变号数有2个．
综上得 数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3；

点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高．