Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为原点，且|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）写出直线的截距式方程，化为一般式，化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于半径得到曲线C与直线l相切的充要条件；
（2）设出线段AB的中点坐标，由中点坐标公式得到a，b与AB中点坐标的关系，代入（1）中的条件得线段AB中点的轨迹方程．

解答：（1）证明：由题意知，直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
即bx+ay-ab=0．
曲线C的方程配方得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴直线l与圆C相切的充要条件是1=

|a+b-ab|

a2+b2

，
整理得ab-2a-2b+2=0，
即（a-2）（b-2）=2；
（2）解：设AB的中点为M（x，y），
则由中点坐标公式得：a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得
（2x-2）（2y-2）=2，
即 （x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1），
∴线段AB中点的轨迹方程为：（x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1）．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆位置关系的判断，训练了点到直线的距离公式的用法，属中档题．