Question

19．已知函数f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，数列{x_n}的通项由x_n=f（x_n-1）（n≥2且x∈N^*）确定．
（1）求证：数列（$\frac{1}{{x}_{n}}$）是等差数列；
（2）当x₁=$\frac{1}{2}$时，求x₂₀₁₇．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列定义，只要证明$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n-1}}$为常数即可；
（2）利用（1）的结论，得到{$\frac{1}{{x}_{n}}$}通项公式，然后求之．

解答 解：（1）证明：因为f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，数列{x_n}的通项，x_n=f（x_n-1），
所以x_n=$\frac{3{{x}_{n-1}}_{\;}}{{x}_{n-1}+3}$，所以$\frac{1}{{x}_{n}}=\frac{1}{{x}_{n-1}}+\frac{1}{3}$，所以$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n-1}}=\frac{1}{3}$，所以{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是等差数列．
（2）解：x₁=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{{x}_{1}}$=2，所以$\frac{1}{{x}_{n}}$=2+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+5}{3}$，
所以x_n=$\frac{3}{n+5}$，
所以x₂₀₁₇=$\frac{3}{2022}$．

点评 本题考查了等差数列定义以及等差数列通项公式的求法．