Question

设抛物线y²=4x截直线y=2x+m所得的弦AB长为3

5

．
（1）求m的值；
（2）以弦AB为底边，以x轴上的点P为顶点组成的三角形的面积为39时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）联立方程

y2=4x y=2x+m

可得，4x²+4（m-1）x+m²=0由△＞0有  16（m-1）²-16m²＞0得m＜

1

2

     
由AB=3

5

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

可求m
（2）设P（x₀，0），先求点P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距离 d =

|2x0-4|

5

，再根据

1

2

|AB|d=39，可求P得坐标

解答：解：（1）

y2=4x y=2x+m

∴4x²+4（m-1）x+m²=0
由△＞0有  16（m-1）²-16m²＞0
解得m＜

1

2

     
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1-mx1x2=

m2

4

，
∵AB=3

5

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

解得  m=-4  适合m＜

1

2

∴m=-4
（2）设P（x₀，0）则点P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距离 d =

|2x0-4|

5

 
依题意 

1

2

|AB|d=39，∴

1

2

•3

5

•

|2x0-4|

5

=39，∴x₀=15或x₀=-11
∴P（15，0）或P（-11，0）

点评：本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示由AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，这是圆锥曲线的考查的热点之一．