Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°，F为AE中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-EB-D的大小的余弦值；
（Ⅲ）求点F到平面BDE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BE的中点O，连OC，OF，DF，可利用条件得OC∥FD，再利用条件证得OC⊥平面ABE即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）因为二面角A-EB-D与二面角F-EB-D相等，即找二面角F-EB-D的平面角为∠FOD即可．
（Ⅲ）由OFDC为正方形可得CF⊥OD，CF⊥EB?CF⊥面EBD，所以点F到平面BDE的距离为

1

2

FC，再由条件求出结果即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OF与BA平行且相等（2分）
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD与BA平行且相等，
∴OF与CD平行且相等，
∴OC∥FD（4分）
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
从而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
（Ⅱ）二面角A-EB-D与二面角F-EB-D相等，
由（Ⅰ）知二面角F-EB-D的平面角为∠FOD．
BC=CE=2，∠BCE=120°，OC⊥BE得BO=OE=

3

，OC=1，
∴OFDC为正方形，
∴∠FOD=45°，
∴二面角A-EB-D的余弦值为

2

2

．（10分）
（Ⅲ）∵OFDC为正方形，
∴CF⊥OD，CF⊥EB，
∴CF⊥面EBD，
∴点F到平面BDE的距离为

1

2

FC，
∴点F到平面BDE的距离为

2

2

．（14分）

点评：本题综合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和点到面的距离计算．在求点到面的距离时，如果直接法不好求的话，一般转化为棱锥的高利用等体积法来求．