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    已知数列{an}对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2．
    （1）求an的表达式；
    （2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
    （3）设An为数列{
    an-1
    an
    }    的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An
    		an+1
    ＜a-
    3
    2a
    对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2，知an=2n．
    （2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由此能求出b5+b100的值．
    （3）因为
    an-1
    an
    =1-
    1
    an
    ，故An=(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )••(1-
    1
    an
    )    ，所以An
    		an+1
    =(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )••(1-
    1
    an
    )
    		2n+1
    ．故An
    		an+1
    ＜a-
    3
    2a
    对一切n∈N*都成立，由此能求出使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a取值范围．
    解答：解：（1）∵对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2，
    ∴a2=2a1=4，a3=2+4=6，a4=2+6=8，…，an=2n；（4分）
    （2）因为an=2n（n∈N*），
    所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
    （2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；
    （22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；
    （42），．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，
    故b100是第25组中第4个括号内各数之和．（6分）
    由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
    同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、
    所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．（8分）
    故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
    注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，（6分）
    所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010．（10分）
    （3）因为
    an-1
    an
    =1-
    1
    an
    ，故An=(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )••(1-
    1
    an
    )    ，
    所以An
    		an+1
    =(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )••(1-
    1
    an
    )
    		2n+1
    ．
    故An
    		an+1
    ＜a-
    3
    2a
    对一切n∈N*都成立，
    就是(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )••(1-
    1
    an
    )
    		2n+1
    ＜a-
    3
    2a

    对一切n∈N*都成立．（12分）
    设g(n)=(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )••(1-
    1
    an
    )
    		2n+1
    ，
    则只需[g(n)]max＜a-
    3
    2a
    即可．
    由于
    g(n+1)
    g(n)
    =(1-
    1
    an+1
    )•
    		2n+3
    		2n+1
    =
    2n+1
    2n+2
    •
    		2n+3
    		2n+1
    =
    		4n2+8n+3
    		4n2+8n+4
    ＜1    ，
    所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
    于是[g(n)]max=g(1)=
    		3
    2
    ．（14分）
    令
    		3
    2
    ＜a-
    3
    2a
    ，即
    (a-
    		3
    )(2a+
    		3
    )
    a
    ＞0    ，
    解得-
    		3
    2
    ＜a＜0    ，或a＞
    		3
    ，（15分）
    综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，
    a的取值范围是(-
    		3
    2
    ，0)∪(
    		3
    ，+∞)    ．（16分）
    点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
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    ．

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    4
    3
    y．
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    （3）已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=
    1
    9
    ，则a36=4
    （4）对于一切实数x，令[x]大于x最大整数，例如：[3.05]=3，[
    5
    3
    ]=1，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数，若an=f（
    n
    3
    ）（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和，则S50=145．

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    已知数列{an}对于任意的p，q∈N*，有ap+q=ap•aq．若a1=
    		2
    ，则a18=
     
    ．

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    已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap•aq=ap+q，若a1=
    		2
    ，则a10的值为（　　）

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