Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=4，S₅=30．
（Ⅰ）求a_n的表达式；
（Ⅱ）设A_n为数列{

an-1

an

}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An•

2n+1

＜a对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₂₀₁₅的值．

Answer 1

考点：数列的应用,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）因为数列{a_n}是等差数列，从而可求通项公式a_n=4+（n-2）2=2n（n∈N^*）；
（Ⅱ）设g（n）=An•

2n+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

a3

）

2n+1

，可证g（n）单调递减，从而可得g（n）_max=g（1）=

3

2

．从而化恒成立问题为最值问题；
（Ⅲ）数列{a_n}依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），（20，22，24）；…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号，故b₂₀₁₅是第672组中第2个括号内各数之和．由分组规律知，b₂，b₅，b₈，…，b₂₀₁₅，…组成首项b₂=10，公差d=24的等差数列．从而求得．

解答： 解：（Ⅰ）因为数列{a_n}是等差数列，
由S₅=30，得a₃=6，所以公差d=2．
所以a_n=4+（n-2）2=2n（n∈N^*）；
（Ⅱ）设g（n）=An•

2n+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

a3

）

2n+1

，
因为

g(n+1)

g(n)

=（1-

1

an+1

）

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1，
并且g（n）＞0，
所以g（n）＞g（n+1）．
g（n）单调递减，
所以g（n）_max=g（1）=

3

2

．
因为不等式An•

2n+1

＜a对一切n∈N^*都成立，
所以a＞

3

2

．
（Ⅲ）数列{a_n}依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），（20，22，24）；…，
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号，故b₂₀₁₅是第672组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b₂，b₅，b₈，…，b₂₀₁₅，…组成首项b₂=10，公差d=24的等差数列．
其中b₂₀₁₅是这个数列的第672项，所以b₂₀₁₅=10+（672-1）×24=16114．

点评：本题考查了数列的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．