已知函数.
(Ⅰ)若无极值点,但其导函数
有零点,求
的值;
(Ⅱ)若有两个极值点,求
的取值范围,并证明
的极小值小于
.
(Ⅰ) (Ⅱ)
,利用单调性证明
解析试题分析:(Ⅰ)首先,
,
有零点而
无极值点,表明该零点左右
同号,故
,且
的
由此可得
(Ⅱ)由题意,有两不同的正根,故
.
解得: ,设
的两根为
,不妨设
,因为在区间
上,
,而在区间
上,
,故
是
的极小值点.因
在区间
上
是减函数,如能证明
则更有
由韦达定理,
,
令其中
设
,利用导数容易证明
当
时单调递减,而
,因此
,即
的极小值
(Ⅱ)另证:实际上,我们可以用反代的方式证明的极值均小于
.
由于两个极值点是方程的两个正根,所以反过来,
(用表示
的关系式与此相同),这样
即,再证明该式小于
是容易的(注意
,下略).
考点:本题考查了导数的运用
点评:对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想的运用
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,且
在
和
处取得极值.
(1)求函数的解析式.
(2)设函数,是否存在实数
,使得曲线
与
轴有两个交点,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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