已知函数.
(Ⅰ)若无极值点,但其导函数有零点,求的值;
(Ⅱ)若有两个极值点,求的取值范围,并证明的极小值小于.
(Ⅰ) (Ⅱ),利用单调性证明
解析试题分析:(Ⅰ)首先, ,有零点而无极值点,表明该零点左右同号,故,且的由此可得
(Ⅱ)由题意,有两不同的正根,故.
解得: ,设的两根为,不妨设,因为在区间上,,而在区间上,,故是的极小值点.因在区间上是减函数,如能证明则更有由韦达定理,,
令其中设 ,利用导数容易证明当时单调递减,而,因此,即的极小值
(Ⅱ)另证:实际上,我们可以用反代的方式证明的极值均小于.
由于两个极值点是方程的两个正根,所以反过来,
(用表示的关系式与此相同),这样
即,再证明该式小于是容易的(注意,下略).
考点:本题考查了导数的运用
点评:对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想的运用
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,且在和处取得极值.
(1)求函数的解析式.
(2)设函数,是否存在实数,使得曲线与轴有两个交点,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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