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    已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

    （Ⅰ）设，试求函数的表达式；

    （Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

    （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

    【解析】

    ，结合

    进而得到，由于，于是得到，求出的取值范围，进 ，

     ∴切线的方程为：，

    由（1）、（2），可得是方程的两根，

      （ * ）

    ，

    化简，得，

    解法：依题意，当区间的长度最小时，

    得到的最大值，即是所求值．

    ，长度最小的区间为

    当时，与解法相同分析，得，

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    （1）求证：为关于的方程的两根；

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    （3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等，则m的最大值，为正整数

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     (Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

    （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

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    （Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河南省卢氏一高高三适应性考试理科数学 题型：解答题

    （本小题满分12分） 已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

    （1）求证：为关于的方程的两根；

    （2）设，求函数的表达式；

    （3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

     

     

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