Question

（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
（1）求函数f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（2）证明：；
（3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．
（参考数据：．

Answer 1

（1）0    （2）见解析    （3）211

（1）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）^r﹣1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（2）由（1），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．
上式两边同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），
即，②
当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），
类似可得，③
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得，④
（3）在④中，令，n分别取值81，82，83，…，125，
得，，，…，
将以上各式相加，并整理得．
代入数据计算，可得
由[S]的定义，得[S]=211．