【题目】己知函数.
(1)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围:
(2)若函数有且只有三个不同的零点,分别记为x1,x2,x3,设x1<x2<x3,且的最大值是e2,求x1x3的最大值.
【答案】(1) (0,);(2).
【解析】
(1)求出函数的导数,利用函数f(x)有两个极值点,说明导函数有两个解,即有两个不等的实数根,令,则,求得的极大值,可求得m的取值范围.
(2)根据g(x) =(x-e)(lnx-mx),得到x=e是其零点.又结合(1)知lnx-mx=0的两个根分别在(0,e),(e,+∞)上,得到g(x)的三个不同的零点分别是x1,e,x3,且0<x1<e,x3>e,进行的换元,则t∈.由,解得 构造,t∈,利用导函数转化求解即可.
(1)由题意得,x>0.
由题知=0有两个不等的实数根,
即有两个不等的实数根.令,则.
由>0,解得,故在(0,e)上单调递增;
由<0,解得x>e,故在(e,+∞)上单调递减;
故在x=e处取得极大值,且,
结合图形可得.
∴当函数f(x)有两个极值点时,实数m的取值范围是(0,).
(2)因为g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx),
显然x=e是其零点.
由(1)知lnx-mx=0的两个根分别在(0,e),(e,+∞)上,
∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1,e,x3,且0<x1<e,x3>e.
令,则t∈.
则由 解得
故,t∈.
令,则.
令,则.
所以在区间上单调递增,即>.所以,即在区间上单调递增,即≤=,所以,即x1x3≤.
所以x1x3的最大值为.
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【题目】已知直线,阅读如图所示的程序框图,若输入的的值为,输出的的值恰为直线在轴上的截距,且.
(1)求直线与的交点坐标;
(2)若直线过直线与的交点,且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍,求的方程.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a=﹣1,求方程f(x)=1的解集;
(2)若 ,试判断函数y=f(x)在R上的零点个数.
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【题目】进入冬天,大气流动性变差,容易形成雾握天气,从而影响空气质量.某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性,以确定是否对车辆实施限行.为此,环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表:
(1)根据表中周一到周五的数据,求y关于x的线性回归方程。
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2,则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据周六和周日数据,判定所得的线性回归方程是否可靠?
注:回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为.
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【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1,中,点M是棱BC的中点.
(2)求证:A1C∥平面AB1M;
(2)如果AB=AC,求证AM⊥平面BCC1B1.
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【题目】已知斜率为1的直线与椭圆交于,两点,且线段的中点为,椭圆的上顶点为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆交于两点,若直线与的斜率之和为2,证明:过定点.
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