Question

已知函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)
（1）若f（x）满足f（-x）=-f（x），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数f（x）在[-1，1]上是否有零点，并说明理由；
（3）若函数f（x）在R上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义，由f（-x）=-f（x）采用比较系数法，可解出a=1；
（2）根据指数函数单调性，得f（x）=1-

2

2x+1

是R上的增函数．再由f（-1）＜0，f（1）＞0且f（0）=0，可得f（x）在[-1，1]上有唯一零点x=0；
（3）函数f（x）在R上有零点，即方程a=

2

2x+1

在R上有实数根．讨论函数t═

2

2x+1

的单调性，可得它的值域为（0，2），由此即可得到f（x）在R上有零点时实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(-x)=

a•2-x+a-2

2-x+1

=

a+(a-2)•2x

1+2x

-f(x)=

-a•2x+(2-a)

2x+1

，且f（-x）=-f（x），
∴

a=2-a a-2=-a

，解之得a=1；
（2）∵a=1，∴f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

∵t=

2

2x+1

是R上的减函数，∴f（x）是R上的增函数．
∵f（-1）=-

1

3

＜0，f（1）=

1

3

＞0，f（0）=0
∴f（x）在[-1，1]上有唯一零点x=0．
（3）f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

=a-

2

2x+1

∵函数f（x）在R上有零点，
∴方程a=

2

2x+1

在R上有实数根
∵t=

2

2x+1

上是减函数，2^x+1＞1
∴t=

2

2x+1

∈（0，2）
由此可得，当a∈（0，2）时，方程a=

2

2x+1

在R上有实数根
综上所述，若函数f（x）在R上有零点，a的取值范围是（0，2）．

点评：本题给出含有指数式的分式形式的函数，叫我们讨论其奇偶性并求值域．着重考查了函数的奇偶性、基本初等函数的值域求法等知识，属于基础题．