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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=
π6
,a=2
;设内角B=x,△ABC的面积为y.
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)求函数y=f(x)的值域.
分析:(1)设△ABC的外接圆的半径为R,则可利用正弦定理求得R,再根据正弦定理表示出b,c后利用三角形面积公式表示出函数的解析式,根据角A的范围求出函数的定义域.
(2)先根据两角和与差的正弦公式对函数f(x)进行展开,再由二倍角该公式和两角和与差的公式进行化简,根据函数f(x)的定义域和正弦函数的性质可求得值域.
解答:解:(1)设△ABC的外接圆的半径为R,则2R=
2
sin
π
6
=4,∴R=2.
y=f(x)=
1
2
bcsinA=
1
4
×2RsinB×2RsinC=4sinxsin(
6
-x)

定义域为{x|0<x<
6
}

(2)∵f(x)=4sinxsin(
6
-x)=4sinx(
1
2
cosx+
3
2
sinx)
=2sinxcosx+2
3
sin2x=sin2x+
3
-
3
cos2x=2sin(2x-
π
3
)+
3

0<x<
6
,∴-
π
3
<2x-
π
3
3

-
3
2
<sin(2x-
π
3
)≤1

故函数y=f(x)的值域为(0,2+
3
]
点评:本题主要考查正弦定理、二倍角公式和两角和与差的公式的应用,考查基础知识的综合应用和对公式的掌握情况,三角函数的公式比较多,一定要加强记忆.
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在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,则下列关系一定不成立的是(  )
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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1114

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3
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b
a
=
sinB
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(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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5
,b=3,sinC=2sinA
,则sinA=
 

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