Question

设定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（-1）=0，则不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集为

（-1，0）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合已知可判断出函数f（x）的单调性，进而判断出各区间上函数值的符号，进而求出不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集．

解答：解：∵定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，
故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
又∵f（-1）=0，
∴f（1）=0，
当x∈（-∞，-1）时，-x∈（1，+∞），此时f（x）+f（-x）＜0，x[f（x）+f（-x）]＞0
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），此时f（x）+f（-x）＞0，x[f（x）+f（-x）]＜0
当x∈（0，1）时，-x∈（-1，0），此时f（x）+f（-x）＞0，x[f（x）+f（-x）]＞0
当x∈（1，+∞）时，-x∈（-∞，-1），此时f（x）+f（-x）＜0，x[f（x）+f（-x）]＜0
综上不等式x[f（x）+f（-x）]＜0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，根据偶函数在对称区间上单调性相反，判断出函数f（x）的单调性，是解答的关键．