【题目】设某物体一天中的温度T是时间t的函数,已知T(t)=t3+at2+bt+c,其中温度的单位是℃,时间的单位是小时,规定中午12:00相应的t=0,中午12:00以后相应的t取正数,中午12:00以前相应的t取负数(例如早上8:00对应的t=﹣4,下午16:00相应的t=4),若测得该物体在中午12:00的温度为60℃,在下午13:00的温度为58℃,且已知该物体的温度在早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
(1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式;
(2)该物体在上午10:00至下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高?最高温度是多少?
【答案】
(1)解:由题意可得,T′(t)=3t2+2at+b,当t=0时,T(t)=60;
当t=1时,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),
故有c=60,1+a+b+c=58,3(﹣4)2+2a(﹣4)+b=342+2a4+b,
解得a=0,b=﹣3,c=0,∴T(t)=t3 ﹣3t+60,(﹣12≤t≤12)
(2)解:该物体在上午10:00至下午14:00这段时间中(包括端点),即﹣2≤t≤2,T′(t)=3t2﹣3,
故当t∈[﹣2,﹣1)、(1,2]时,T′(t)=3t2﹣3>0,函数单调递增;故当t∈[﹣1,1]时,T′(t)=3t2﹣3≤0,函数单调递减,
故当t=﹣1时,函数取得极大值为T(﹣1)=64,而区间[﹣2,2]的端点值T(﹣2)=58,T(2)=62,
故函数T(t)=t3+at2+bt+c在区间[﹣2,2]上的最大值为64,
故上午11点温度最高为64°
【解析】(1)由题意可得当t=0时,T(t)=60;当t=1时,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),由此求得待定系数a、b、c的值,可得函数的解析式.(2)利用导数研究函数的单调性,由单调性求得函数的最大值,从而得出结论.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2﹣ax+a,其中a∈R.
①f(﹣1)=;
②若f(x)的值域是R,则a的取值范围是 .
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【题目】已知α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,则“α∥β是“l∥β”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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【题目】2020年4月16日,某州所有61个社区都有新冠病毒感染确诊病例,第二天该州新增这种病例183例.这两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数,平均数,众数,方差和极差5个特征数中,一定变化的是______(写出所有的结果)
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【题目】给出下列命题:(1)若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=±1;(2)1+i2是虚数;(3)在复平面中,实轴上的点均表示实数,虚轴上的点均表示纯虚数.其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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【题目】已知函数在点(1,f(1))处的切线为y=1.
(1)求a,b的值;
(2)问是否存在实数m,使得当x∈(0,1]时,的最小值为0?若存在求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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