Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=1，a_n=

sn

n

+2(n-1)，（n∈N^*），若s₁+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=2013，则n的值为（　　）

A．1007

B．1006

C．2012

D．2013

Answer 1

分析：由已知利用s_n-s_n-1=

sn

n

+2(n-1)，（n≥2），整理可得

sn

n

-

sn-1

n-1

=2，结合等差数列的求和公式可求s₁+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

，然后代入已知条件中即可求解n

解答：解：∵a_n=

sn

n

+2(n-1)，
∴s_n-s_n-1=

sn

n

+2(n-1)，（n≥2）
整理可得，（n-1）s_n-ns_n-1=2n（n-1）
两边同时除以n（n-1）可得

sn

n

-

sn-1

n-1

=2
∴数列{

sn

n

}是以

s1

1

=1为首项，以2为公差的等差数列
∴s₁+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-（n-1）²
=n×1+

n(n-1)

2

×2-（n-1）²
=n²-（n-1）²
=2n-1
由题意可得，2n-1=2013
解可得n=1007
故选A

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，解题的关键是对已知灵活变形