Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$是平面内两个互相垂直的单位向量，且（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）$•（4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$=0，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由已知的等式得到$\overrightarrow{c}$的坐标等式，由它的几何意义求最值．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），则3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（3-x，-y）=0，$4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$=（-x，4-y），由（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）$•（4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$=0得到-x（3-x）-y（4-y）=0，即（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{25}{4}$，
所以$\overrightarrow{c}$在以（$\frac{3}{2}$，2）为圆心，$\frac{5}{2}$为半径的圆上，所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值是（$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}+\frac{5}{2}$=5；
故选C．

点评 本题考查了平面向量的运用；关键是坐标化后，利用几何意义求最值．