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设函数f(x)=
1
4
x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值.
(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求m的取值范围;
(3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-
1
2
x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点.
分析:(1)利用条件得f′(x)=0有三个互异的实根,在对导函数求导,根据极值来下结论.
(2)先利用导函数求出函数f(x)的单调递增区间,再让闭区间[m-2,m+2]是所求区间的子集即可求m的取值范围.
(3)函数f(x)只有一个极值点,就是在导函数为0的根左右两侧的函数值异号的根只有一个x=t1.所以在x=t2两侧同号,t1<x<t2,求得(x-t22-1<0推出函数g(x)在(t1,t2)内单调减即可得结论.
解答:解:(1)因为f(x)=
1
4
x4+bx2+cx+d,所以h(x)=f′(x)=x3-12x+c.(2分)
由题设,方程h(x)=0有三个互异的实根.
考察函数h(x)=x3-12x+c,则h′(x)=0,得x=±2.
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所以
c+16>0
c-16<0.
故-16<c<16.(5分)
(2)存在c∈(-16,16),使f′(x)≥0,即x3-12x≥-c,(*)
所以x3-12x>-16,即(x-2)2(x+4)>0(*)在区间[m-2,m+2]上恒成立.(7分)
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集.
所以
m-2>-4
m+2<2
或m-2>2,即-2<m<0,或m>4.(9分)
(3)由题设,可得存在α,β∈R,使f′(x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+αx+β),
且x2+αx+β≥0恒成立.(11分)
又f?(t2)=0,且在x=t2两侧同号,
所以f?(x)=(x-t1)(x-t22.(13分)
另一方面,g′(x)=x3+(2b-1)x+t1+c
=x3+2bx+c-(x-t1)=(x-t1)[(x-t22-1].
因为t1<x<t2,且t2-t1<1,所以-1<t1-t2<x-t2<0.
所以0<(x-t22<1,所以(x-t22-1<0.
而x-t1>0,所以g′(x)<0,所以g(x)在(t1,t2)内单调减.
从而g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点.(16分)
点评:本题考查利用极值求对应变量的值.可导函数的极值点一定是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点
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设函数f(x)=lnx-ax+1,其中a为常数.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)求证:
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N,n≥2)

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设函数f(x)=exμ(x),
(I)若μ(x)=x2-
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x+2的极小值;
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]
时,f(x)≥2x恒成立.则f(
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)+f(
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)
=
1
1

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(2013•牡丹江一模)下列命题中,正确的是
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)

(1)平面向量
a
b
的夹角为60°,
a
=(2,0)
|
b
|=1
,则|
a
+
b
|
=
7

(2)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC,bcosB,ccosA成等差数列则B=
π
3

(3)O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足:
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)
,λ∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的内心
(4)设函数f(x)=
x-[x],x≥0
f(x+1),x<0
其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.3]=-2,[1.3]=1,则函数y=f(x)-
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x-
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不同零点的个数2个.

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设函数f(x)=
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•(
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x-1+a•(
1
2
x-a+2
(1)若a=4,解不等式f(x)>0;
(2)若方程f(x)=0有负数根,求a的取值范围.

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