Question

已知x,y,且x+2y≥1,则二次函数式u=x²+y²+4x-2y的最小值______.       

Answer 1

因为x,y ,且x+2y≥1,所以表示的平面区域如下图所示：

函数式u=x²+y²+4x-2y=(x+2)²+(y-1)²-5，当x=-2,y=1时，即取P（-2，1）时，u的值为最小，
但是点P（-2，1）不在区域x+2y≥1内，所以函数u=x²+y²+4x-2y不在点P处取得最小值。但是，当整体V=(x+2)²+(y-1)²取得最小值时，u就取得最小值，即取最小值。可以理解为在区域x+2y≥1上任取一点Q（x,y）到点P（-2，1）的距离的最小值，故作直线PQ垂直于直线：x+2y=1,垂足为Q就是要求的符合条件的点。
又L_PQ：2X-Y+5="0," 由 得点Q的坐标为Q（
把Q（代入u=x²+y²+4x-2y=(x+2)²+(y-1)²-5=（
即为所求的最小值