Question

10．已知数列a₁，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a_n}中的项是（　　）

• A． 16
• B． 128
• C． 32
• D． 64

Answer 1

分析 数列a₁，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，…是首项为1，公比为2的等比数列，可得当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，当n=1时，a₁=1．利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，即可得出，进而判断出．

解答 解：∵数列a₁，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，…是首项为1，公比为2的等比数列，
∴当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，当n=1时，a₁=1．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=2^n-1•2^n-2•…•2²•2¹×1=2^{（n-1）+（n-2）+…+1}=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
∵只有64=${2}^{\frac{4×3}{2}}$满足通项公式，
∴下列数中是数列{a_n}中的项是64．
故选：D．

点评 本题考查了数列的通项公式、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．