【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,试判断
的零点个数.
【答案】(1)当时,
在
上是增函数,
当,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数;
(2)1
【解析】
(1)对求导后对
进行分类讨论,找到
和
的区间,即为
的单调区间.
(2)由(1)可知时,
有极大值
和极小值
,研究他们的正负,并且找到令
的点,根据零点存在定理,找出零点个数.
(1)函数的定义域为
,
,令
,则
,
,
(i)若,则
恒成立,所以
在
上是增函数,
(ii)若,则
,
当时,
,
是增函数,
当时,
,
是减函数,
当时,
,
是增函数,
(iii)若,则
,
当时,
,
是增函数,
当时,
,
是减函数,
当时,
,
是增函数,
综上所述:当时,
在
上是增函数,
当,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数;
(2)当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
所以的极小值为
,
的极大值为
,
设,其中
,
,
所以在
上是增函数,
所以,
因为,
所以有且仅有1个,使
.
所以当时,
有且仅有1个零点.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线(α为参数)经过伸缩变换
得到曲线C2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C2的普通方程;
(2)设曲线C3的极坐标方程为,且曲线C3与曲线C2相交于M,N两点,点P(1,0),求
的值.
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【题目】已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|:|MN|=1:2,则实数a的值为_____.
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【题目】某学生对函数的性质进行研究,得出如下的结论:
函数在
上单调递减,在
上单调递增;
点
是函数图象的一个对称中心;
函数图象关于直线
对称;
存在常数
,使
对一切实数x均成立,
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】根据阅兵领导小组办公室介绍,2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团,总规模约1.5万人,是近几次阅兵中规模最大的一次.其中,徒步方队15个.为了保证阅兵式时队列保持整齐,各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制,太高或太矮都不行.徒步方队队员,男性身高普遍在175cm至185cm之间;女性身高普遍在163cm至175cm之间,这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队,其队员的身高一般都在184cm至190cm之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人,得到她们身高的直方图,如图,记C为事件:“某一阅兵女子身高不低于169cm”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.5.
(1)求直方图中a,b的值;
(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
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【题目】设为数列
前
项的和,
,数列
的通项公式
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,则称
为数列
与
的公共项,将数列
与
的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列
,求
的值;
(3)是否存在正整数、
、
使得
成立,若存在,求出
、
、
;若不存在,说明理由.
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【题目】在复平面内,给出以下四个说法:
①实轴上的点表示的数均为实数;
②虚轴上的点表示的数均为纯虚数;
③互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数;
④已知复数满足
,则
在复平面内所对应的点位于第四象限.
其中说法正确的个数为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】曲线是平面内到直线
和直线
的距离之积等于常数
(
)的点的轨迹,下列四个结论:
①曲线过点
;
②曲线关于点
成中心对称;
③若点在曲线
上,点
、
分别在直线
、
上,则
不小于
;
④设为曲线
上任意一点,则点
关于直线
,点
及直线
对称的点分别为
、
、
,则四边形
的面积为定值
;
其中,所有正确结论的序号是________
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