Question

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量

m

=(2a-c，b)，

n

=(cosC，cosB)，若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为

3

，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状．

Answer 1

（1）

m

=(2a-c，b)，

n

=(cosC，cosB)，∵

m

∥

n

，∴（2a-c）cosB=bcosC．
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

．
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

． …（6分）
（2）由已知得：S△ABC=

1

2

acsinB=

3

，B=

π

3

，∴ac=4．
由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．
∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…（12分）