Question

如图已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍且经过点M（2,1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0）,且交椭圆于A、B两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。说明理由。

Answer 1

解：（I）设椭圆方程为（a>b>0）

则     ∴椭圆方程

（II） ∵直线∥DM且在y轴上的截距为m，∴y=x+m

由

∵与椭圆交于A、B两点

∴△=（2m）²-4（2m²-4）>0-2<m<2（m≠0）

（Ⅲ）设直线MA、MB斜率分别为k₁,k₂，则只要证：k₁+k₂=0

设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,则k₁=,k₂=

由x²+2mx+2m²-4=0得x₁+x₂=-2m,x₁x₂=2m²-4

而k₁+k₂=+= （*）

又y₁=x₁+m  y₂=x₂+m

∴（*）分子=（x₁+m-1）（x₂-2）+（ x₂+m -1）（x₁-2）

=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）

=2m²-4+（m-2）（-m）-4（m-1）

  =0

∴k₁+k₂=0,证之.