Question

（2009•孝感模拟）一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
（1）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．试问当n等于多少时，P的值最大？
（2）在（1）的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列，期望和方差．

Answer 1

分析：（1）计算出从n+5个球中任取两个的方法数和其中两个球的颜色不同的方法，由古典概型公式，代入数据得到一次摸奖中奖的概率，再利用函数的单调性求出其最大值及相应的p值即可．
（2）所取球的标号为ξ，由题意知ξ的取值是0、1、2、3，4．本题是一个独立重复试验，根据上面的p值，代入公式得到结果，写出分布列，期望和方差．

解答：解：（1）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有C_n+5²种方法．它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有C_n¹C₅¹种，
一次摸奖中奖的概率P=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

        …（2分）
设每次摸奖中奖的概率为p（0＜p＜1），三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率，
P=

C

1 3

×p×(1-p) 2=3p³-6p²+3p
∴P′=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），
由此知P在(0，

1

3

)上为增函数，P在(

1

3

，1)上为减函数，…（4分）
∴当p=

1

3

时P取得最大值，即p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，
解得n=20或n=1（舍去），则当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．…（6分）
（2）由（1）可知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3	4
P	1 2	1 20	2 20	3 20	4 20

…（8分）
Eξ=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

2

20

+3×

3

20

+4×

4

20

=

3

2

                                      …（10分）
Dξ=（0-

3

2

）²×

1

2

+（1-

3

2

）²×

1

20

+（2-

3

2

）²×

2

20

+（3-

3

2

）²×

3

20

+（4-

3

2

）²×

4

20

=

11

4

      …（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、等可能事件的概率、离散型随机变量的期望与方差等基础知识，求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量 的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1．③求出期望．