Question

(本小题满分14分)在周长为定值的中，已知，动点的运动轨迹为曲线G,且当动点运动时，有最小值.

(1) 以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，求曲线的方程；

(2) 过点作圆的切线交曲线于，两点．将线段MN的长|MN|表示为的函数，并求|MN|的最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）解：(1)设  ()为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距.                      (2分)

因为

又 ，所以 ，由题意得 .

所以C点轨迹G 的方程为            (6分)

(2) .由题意知，|m|≥1.

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点M，N的坐标分别为，，此时|MN|＝.

当m＝－1时，同理可知|MN|＝.                                 (7分)

当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)，

由得(1＋4k²)x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0.            (8分)

设M，N两点的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又由l与圆x²＋y²＝1相切，得＝1，即m²k²＝k²＋1，

所以|MN|＝＝

＝ ＝.      (12分)

由于当m＝±1时，|MN|＝.

所以|MN|＝，m∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)．

因为|MN|＝＝≤2，且当m＝±时，|MN|＝2.

所以|MN|的最大值为2.                                          (14分)

 

【解析】略