Question

 

（本小题共12分）

（普通高中做）

     如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，点D是AB的中点，

   （I）求证：AC⊥BC₁；

   （II）求证：AC ₁//平面CDB₁；

   （III）求异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁………4分

（II）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；………8分

（III）∵ DE//AC₁，∴ ∠CED为AC₁与B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，

∴ ，

∴ 异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值.………12分