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已知函数f(x)=ax2-2x+1,(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)解关于x的方程f(x)=0;
(3)当a≥1时,f(x)在[2,4]上的最小值为5,求a的值.
分析:(1)①当a=0时,函数f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上为减函数,当a≠0时,结合二次函数的性质,需要讨论a>0,a<0分别进行求解
(2)方程f(x)=0,需要考虑二次项系数a=0是否为0,当a=0时,解一次方程即可求解,当a≠0时,通过讨论△=4-4a①若△<0,②若△=0,③若△>0分别求解
(3)当a≥1时,函数f(x)=ax2-2x+1开口向上,对称轴为x=
1
a
∈(0,1]
,结合二次函数f(x)在区间[2,4]上的单调性可求最小值,从而可求a
解答:解:(1)当a=0时,函数f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上为减函数;…(1分)
当a>0时,函数f(x)=ax2-2x+1开口向上,对称轴为x=
1
a

∴函数f(x)在(-∞,
1
a
]
上为减函数,在[
1
a
,+∞)
上为增函数        …(3分)
当a<0,函数f(x)=ax2-2x+1开口向下,对称轴为x=
1
a

∴函数f(x)在(-∞,
1
a
]
上为增函数,在[
1
a
,+∞)
上为减函数      …(5分)
(2)方程f(x)=ax2-2x+1=0,
当a=0时,方程-2x+1=0有1个实根x=
1
2
,…(6分)
当a≠0时,△=4-4a…(7分)
①若△<0,即a>1时,方程ax2-2x+1=0没有实根      …(8分)
②若△=0,即a=1时,方程ax2-2x+1=0有1个实根x=1…(9分)
③若△>0,即a<1,且a≠0时,方程ax2-2x+1=0有2个实根x=
1-a
a
…(10分)
综上:当a>1时,方程f(x)=0没有实根
当a=0时,方程f(x)=0有1个实根x=
1
2

当a=1时,方程f(x)=0有1个实根x=1
当a<1,且a≠0时,方程f(x)=0有2个实根x=
1-a
a
…(11分)
(3)当a≥1时,函数f(x)=ax2-2x+1开口向上,对称轴为x=
1
a
∈(0,1]

∴f(x)在区间[2,4]上为增函数                            …(12分)
∴f(x)min=f(2)=4a-3=5,得a=2…(14分)
点评:本题主要考查了二次函数性质的应用,二次函数与二次方程之间的相互转化,及含有参数的二次方程的求解,体现了分类讨论思想的应用.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
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34
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