Question

5．已知二次函数f（x）的二次项数为a，且不等式f（x）＞-x的解集为（1，2）．
（1）若函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；
（2）若对?x∈[0，3]，都有f（x）≥-4，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，由题意可得1，2为方程ax²+（b+1）x+c=0的解，运用韦达定理，可得b=3a-1，c=2a，a＜0，再由零点的求法，即可得到a的值，进而得到函数的解析式；
（2）由题意可得a≥$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$在[0，3]的最大值，由g（x）=$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$的导数，即可判断单调性，求得最大值，进而得到a的范围；
（3）运用判别式，判断大于0恒成立，求得方程的两根，判断大小，运用二次不等式的解法即可得到所求解集．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），
即有1，2为方程ax²+（b+1）x+c=0的解，
即1+2=-$\frac{b+1}{a}$，1×2=$\frac{c}{a}$，
可得b=3a-1，c=2a，a＜0，
即有函数y=f（x）+2a=ax²+（3a-1）x+4a，
由函数y=f（x）+2a有且只有一个零点，
可得判别式为0，即（3a-1）²-16a²=0，
解得a=-1或$\frac{1}{7}$（舍去），
即有f（x）=-x²-4x-2；
（2）对?x∈[0，3]，都有f（x）≥-4，
即为ax²+（3a-1）x+2a+4≥0，
即有a≥$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$在[0，3]的最大值，
由g（x）=$\frac{x-4}{{x}^{2}+3x+2}$的导数为g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+8x+14}{（{x}^{2}+3x+2）^{2}}$，
由于-x²+8x+14＞0在[0，3]上恒成立，
即有g′（x）＞0，g（x）递增，
可得g（3）取得最大值，且为-$\frac{1}{20}$，
则-$\frac{1}{20}$≤a＜0；
（3）f（x）≥0，即为ax²+（3a-1）x+2a≥0，（a＜0），
判别式△=（3a-1）²-8a²=a²-6a+1＞0恒成立，
由方程ax²+（3a-1）x+2a=0的两根为x₁=$\frac{1-3a-\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$，
x₂=$\frac{1-3a+\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$，a＜0，
可得x₁＞x₂，
则不等式f（x）≥0的解集为[$\frac{1-3a+\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$，$\frac{1-3a-\sqrt{{a}^{2}-6a+1}}{2a}$]．

点评 本题考查二次函数和二次不等式及二次方程的关系，考查函数的零点的问题的解法，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性求得最值，考查含参不等式的解法，属于中档题．