Question

【题目】南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图1．

（1）若点E恰好与点B重合，且点在BD上，如图2，求风筝面的面积；

（2）当风筝面的面积为时，求点到AB距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）建立直角坐标系，求得直线的方程为，利用点F到AB与BD的距离相等列方程可得：，求得，问题得解。

（2）建立直角坐标系，设，，，求得直线的方程为，利用点与关于直线对称可得：，利用四边形的面积为可得，整理得：，利用导数求得的最小值为，即可求得的最大值为，问题得解。

（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．

则，，

直线的方程为．设（），因为点F到AB与BD的距离相等，

所以，解得或（舍去）． 所以△ABF的面积为，

所以四边形的面积为．所以风筝面的面积为．

方法二：设，则．在直角△ABD中，，

所以，解得或（舍去）． 所以．

所以△ABF的面积为，所以四边形的面积为．

所以风筝面的面积为．

（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系.

设，，，

则直线的方程为，因为点A与关于直线对称，

所以解得．

因为四边形的面积为，所以， 所以．

因为，，所以．

设，．，

令，得或（舍去）．列表如下：

		0
	单调递减	极小值	单调递增

当时，取得极小值，即最小值，

所以的最大值为，所以点到AB距离的最大值为。

方法二：设，，则．因为四边形的面积为，所以，

即，所以．过点作AB的垂线，垂足为T，

则 ．

因为，，所以．

（下同方法一）