Question

20．已知直线y=kx+1（k≠0）交抛物线x²=4y于E、F两点，以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2$\sqrt{7}$，则k=±1．

Answer 1

分析 直线y=kx+1（k≠0）代入抛物线x²=4y，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2$\sqrt{7}$，建立方程，即可得到所求值．

解答 解：直线y=kx+1（k≠0）代入抛物线x²=4y，可得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴y₁+y₂=4k²+2
由抛物线的定义可得，|EF|=y₁+y₂+2=4k²+4．
∵以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2$\sqrt{7}$，
∴7+$\frac{1}{4}$（4k²+2）²=（2k²+2）²，
∴k=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查抛物线的定义和方程、性质的运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．