在三棱锥中,侧棱长均为,底边,,,、分别为、的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求二面角的平面角.
(1)三棱锥的体积为;(2)二面角的平面角的大小为.
解析试题分析:(1)由于三棱锥的侧棱长都相等,可以得到点在平面内的射影点为的外心,而由于的三条底边满足勾股定理,可知为直角三角形的斜边,从而可以知道的中点即为直角三角形的外心,然后利用勾股定理求出,并且计算出直角三角形的面积,最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积;(2)解法一是在(1)中的基础上,利用平面,得到平面平面,然后在平面内作于点,利用平面与平面垂直的性质定理得到平面,从而得到,再从点在平面内作于点,并连接,利用三垂线法得到为二面角的平面角,最后在直角三角形中计算的大小;解法二是以为原点,以为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求二面角
的平面角的大小.
试题解析:(1)取的中点,连接,
易得:,,
,
.
.
又 平面,
(2)法一:作⊥,⊥于点,连接
平面,平面,
又 平面.
∵, ∴
又 平面,
∵,∴,
∴
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如图,是圆柱体的一条母线,过底面圆的圆心,是圆上不与点、重合的任意一点,已知棱,,.
(1)求证:;
(2)将四面体绕母线转动一周,求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.
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如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等,M、E分别是和AB1的中点,点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.
(1)求证:BB1∥平面EFM;
(2)求四面体的体积.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点
(Ⅰ)证明:BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C一A1DE的体积.
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB⊥AC.
(1)求证:AC⊥BB1;
(2)若P是棱B1C1的中点,求平面PAB将三棱柱分成的两部分体积之比.
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某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示。墩的上半部分是正四棱锥,下半部分是长方体。图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。
图1 图2 图3
(1)请在正视图右侧画出该安全标识墩的侧(左)视图;
(2)求该安全标识墩的体积;
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