Question

(本题满分12分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，BAD＝90°，PA底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M、N分别为PC、PB的中点．

(Ⅰ)求证：PB平面ADMN；
(Ⅱ)求四棱锥P-ADMN的体积．

Answer 1

（I）利用线面垂直得AD^平面PAB，
∴AD^PB．根据等腰三角形得AN^PB．推出PB^平面ADMN．
（II）V＝S×PN＝．

试题分析：（I）∵PA^底面ABCD，ÐBAD＝90°，AB∩AD＝D，∴AD^平面PAB，
又PBÌ平面PAB，∴AD^PB．……3分
∵PA＝AB，∴DPAB为等腰直角三角形，N为PB的中点，∴AN^PB．
∵AN∩AD＝D，∴PB^平面ADMN．……6分
（II）由（Ⅰ）PB^平面ADMN，
∴PN为四棱锥P-ADMN的高，且PN＝PB＝．……8分
四边形ADMN为直角梯形，且MNBC，∴MN＝，AN＝，
∴四边形ADMN的面积为S＝ (2+)×＝，……11分
∴四棱锥P-ADMN的体积V＝S×PN＝． ……12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。本题通过空间直角坐标系，利用向量知识可简化证明过程。把证明问题转化成向量的坐标运算，这种方法带有方向性。