Question

已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），若方程f（x）=0有且仅有2009个实数解，则这2009个实数解之和为

2009

．

Answer 1

分析：根据题意得到函数的图象关于x=1对称，得到函数的零点关于x=1对称，即方程f（x）=0的根关于x=1对称，得到方程f（x）=0的2009个实数解中有2008个成对，一个就是x=1，成对的两个根之和等于2，得到所有根的和．

解答：解：∵对于任意实数x，函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），
∴函数的图象关于x=1对称，
∴函数的零点关于x=1对称，
∴方程f（x）=0的根关于x=1对称，
∴方程f（x）=0的2009个实数解中有2008个成对，一个就是x=1，
∴成对的两个根之和等于2，
∴所有的根的和是2×1004+1=2009
故答案为：2009

点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查关于直线对称的图形的特点，本题解题的关键是看出函数的图象关于直线x=1对称，得到函数的零点是成对出现的，本题是一个基础题．