Question

如图；.已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点. 试问；是否存在使最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在

解析试题分析：（1）椭圆C:的离心率为
由椭圆的左顶点为，所以可得椭圆的标准方程；
（2）点M与点N关于轴对称，设，
 ，再根据的取值范围求出的范围.
（3）假设存在点使取最大值，因为
=
利用点分别是直线 与轴的交点，把表示成的函数，进而求出其取最大值的值，确定点的坐标.
试题解析：
解：（1）由题意知解之得； ，由得b=1，

故椭圆C方程为；.3分
（2）点M与点N关于轴对称，设, 不妨 设, 由于点M在椭圆C上，,
由已知 
,..6分由于故当时，取得最小值为,
当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得,故圆T的方程为：；..8分
（3）假设存在满足条件的点P,设，则直线MP的方程为：
令，得，同理,
故;..10分
又点M与点P在椭圆上，故,
得,
为定值,.12分
===,
由P为椭圆上的一点,要使最大，只要最大，而的最大值为1,故满足条件的P点存在其坐标为．..14分
考点：1、椭圆的标准方程和圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量的数量积.